Question

20．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2$\sqrt{2}$，BD与AC交于点O，
（1）求直线D₁O与平面ABCD所成角．
（2）求点D到ACD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意，∠D₁OD是直线D₁O与平面ABCD所成角；
（2）过D作DE⊥D₁O，则DE⊥平面ACD₁，DE为点D到ACD₁的距离，利用等面积可得结论．

解答 解：（1）由题意，∠D₁OD是直线D₁O与平面ABCD所成角，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2$\sqrt{2}$，
∴DO=2，D₁D=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D₁OD=$\sqrt{2}$，
∴∠D₁OD=arctan$\sqrt{2}$，
∴直线D₁O与平面ABCD所成角是arctan$\sqrt{2}$．
（2）过D作DE⊥D₁O，则DE⊥平面ACD₁，DE为点D到ACD₁的距离．
∵DO=2，D₁D=2$\sqrt{2}$，D₁O=2$\sqrt{3}$，
∴由等面积可得DE=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点D到ACD₁的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．