Question

15．已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A₁B₁C₁，其中B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
（1）求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A₂B₂C₂．求B₁变化后的对应点B₂的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）利用切变变换，求B₁变化后的对应点B₂的坐标．

解答 解：（1）设$M=[\begin{array}{l}1\\ c\end{array}\right.，\left.\begin{array}{l}b\\ 1\end{array}]$，则有$[\begin{array}{l}1\\ c\end{array}\right.，\left.\begin{array}{l}b\\ 1\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=[\begin{array}{l}1\\-1\end{array}]$得$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ c=-2\end{array}\right.$
所以$M=[\begin{array}{l}1\\-2\end{array}\right.，\left.\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}]$…（7分）
（2）由$[\begin{array}{l}cos（{-{{45}^0}}）\\ sin（{-{{45}^0}}）\end{array}\right.，\left.\begin{array}{l}-sin（{-{{45}^0}}）\\ cos（{-{{45}^0}}）\end{array}][\begin{array}{l}1\\-1\end{array}]=[\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.，\left.\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}][\begin{array}{l}1\\-1\end{array}]=[\begin{array}{l}0\\-\sqrt{2}\end{array}]$
得B₂（0，$-\sqrt{2}$）…（15分）

点评 本题考查切变变换，考查学生的计算能力，属于中档题．