Question

12．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且矩阵M对应的变换将点A（-1，2）变换成A′（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，建立方程组，即可求矩阵M；
（2）根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果．

解答 （1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，则根据题意有$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=8$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\end{array}\right.$…（2分）
$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{4}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=-2}\\{-c+2d=4}\end{array}\right.$…（4分）
联立方程解得，M=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$，…（6分）
（2）因为直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m，
所以直线m在M对应的变换作用下得到直线l．…（8分）
所以直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为直线x=3．
设点（x，y）为直线m上任意一点，其在M对应变换作用下点为（x′，y′），
$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=6x+2y}\\{y′=4x+4y}\end{array}\right.$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}x′-\frac{1}{8}y′}\\{y=-\frac{1}{4}x′+\frac{3}{8}y′}\end{array}\right.$…（12分）
代入得：x′-y′=12，所以l方程为直线x-y=12．…（14分）

点评 本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力，比较基础．