Question

6．关于x方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+k=0（k∈R）在（0，2π）内有两个相异的实数解α，β，则 α+β的值为$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 方程有两个相异的实数解α，β，将其代入，进行化简，利用和差化积和二倍角的关系求解即可．

解答 解：∵α、β是方程的相异解，sinα+$\sqrt{3}$cosα+k=0…①
sinβ+$\sqrt{3}$cosβ+k=0…②
由①-②得（sinα-sinβ）+$\sqrt{3}$（cosα-cosβ）=0
∴2con（$\frac{α+β}{2}$）sin（$\frac{α-β}{2}$）$+2\sqrt{3}$sin（$\frac{α+β}{2}$）sin（$\frac{α-β}{2}$）=0
∵相异的实数解α，β
∴sin（$\frac{α-β}{2}$）≠0
∴2cos（$\frac{α+β}{2}$）$+2\sqrt{3}$sin（$\frac{α+β}{2}$）=0
即tan（$\frac{α+β}{2}$）=$-\sqrt{3}$
tan（α+β）=$\frac{2tan（\frac{α+β}{2}）}{1-ta{n}^{2}（\frac{α+β}{2}）}$=$\sqrt{3}$
∵α，β∈（0，2π）
∴α+β=$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考察了化简能力和计算能力，利用了和差化积和二倍角公式求解．属于中档题．