Question

18．如图，在四棱O-ABCD锥中，底面ABCD四边长为4的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

分析 （1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，即可得到MN∥平面OCD；
（2）利用V_B-OCD=V_0-BCD，求点B到平面OCD的距离．

解答 （1）证明：取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD，
MN?平面MNE，
∴MN∥平面OCD；
（2）解：V_B-OCD=V_0-BCD
∵$AC=4∴OC=2\sqrt{5}，OD=2\sqrt{5}$
所以CD边上的高等于4，S_△OCD=8，${S_{△BCD}}=4\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{3}×8×h=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×2$，∴$h=\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生转化问题的能力，属于中档题．