Question

16．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x+3y-29=0相切，设直线ax-y+5=0（a
＞0）与圆相交于A，B两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得线AB的垂直平分线l过点P（-2，4）？

Answer 1

分析 （1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以 $\frac{|4m-29|}{5}$=5，由此能求了圆的方程．
（2）把直线ax-y+5=0代入圆的方程，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，由此求出实数a的取值范围．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为-$\frac{1}{a}$，l的方程为y=-$\frac{1}{a}$（x+2）+4，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数a=$\frac{3}{4}$使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．

解答 解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以 $\frac{|4m-29|}{5}$=5，
即|4m-29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x-1）²+y²=25． 
（2）把直线ax-y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，
由于a＞0，解得a＞$\frac{5}{12}$，
所以实数a的取值范围是（$\frac{5}{12}$，+∞）．
（3）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为-$\frac{1}{a}$，
l的方程为y=-$\frac{1}{a}$（x+2）+4，
即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2-4a=0，解得a=$\frac{3}{4}$．
由于$\frac{3}{4}$∈（$\frac{5}{12}$，+∞），故存在实数a=$\frac{3}{4}$使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．