Question

15．若函数f（x）=|a^x+x²-xlna-t|-1（0＜a＜1）有零点，则实数t的最小值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 f（x）有零点?不等式a^x+x²-xlna-t≤1有实数解?t≥a^x+x²-xlna-1有实数解?t≥（a^x+x²-xlna-1）_min，利用导数可求得≥（a^x+x²-xlna-1）_min．

解答 解：函数f（x）=|a^x+x²-xlna-t|-1（0＜a＜1）有零点?不等式a^x+x²-xlna-t≤1有实数解
?t≥a^x+x²-xlna-1有实数解?t≥（a^x+x²-xlna-1）_min，
令g（x）=a^x+x²-xlna-1，则g′（x）=a^xlna+2x-lna，g″（x）=a^xln²a+2＞0，
∴g′（x）为增函数，
而g′（0）=a⁰lna+2×0-lna=0，
∴x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）为增函数；
当x＜0时，g′（x）＜g′（0）=0，g（x）为减函数；
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴t≥0，即实数t的最小值为0．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点、函数最值的求解及导数的应用，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．