Question

12．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；
②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c=4或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出原点为顶点的抛物线方程可设为x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0），得到$\frac{9}{p}$=（$\frac{c}{4}$）^n-2对n∈N^*恒成立或3q=（$\frac{c}{\sqrt{2}}$）^n-2对n∈N^*恒成立，求出c的值即可．

解答 解：记函数f（x）=cn-2（1-|$\frac{x}{{2}^{n-2}}$-3|），（2n-1≤x≤2n，n∈N*）的极大值点为p_n（x_n，y_n）．
以原点为顶点的抛物线方程可设为x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0）．
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在抛物线x²=py（p≠0）上，则（3•2^n-2）²=pc^n-2，
即$\frac{9}{p}$=（$\frac{c}{4}$）^n-2对n∈N^*恒成立，从而c=4，p=9，抛物线方程为x²=9y；
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在抛物线y²=qx（q≠0）上，则（c^n-2）²=3q•2^n-2，
即3q=（$\frac{c}{\sqrt{2}}$）^n-2对n∈N^*恒成立，从而c=$\sqrt{2}$，q=$\frac{1}{3}$，抛物线方程为y²=$\frac{1}{3}$x，
综上：c=4或$\sqrt{2}$，
故答案为：4或$\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查抛物线的标准方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法，考查运算求解能力、化归与转化思想，是一道中档题．