Question

11．已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线$\sqrt{3}$x+y-6=0的距离的最小值；
（Ⅲ）若直线L与圆C相切，且L与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线L的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是圆C上的动点，求出圆心到直线l的距离，即可求点P到直线$\sqrt{3}$x+y-6=0的距离的最小值；
（Ⅲ）利用C点到直线l的距离等于圆的半径2，求出b，k的关系，表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可求△ABC的面积最小时直线L的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆C的半径为$|CM|=\sqrt{1+3}=2$，…（1分）
所以圆C的方程为x²+y²=4…（2分）
（Ⅱ）圆心到直线l的距离为$d=\frac{|-6|}{{\sqrt{3+1}}}=3$，…（4分）
所以P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值为1  …（6分）
（Ⅲ）设直线l的方程为：y=kx+b，因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，
则k＜0，b＞0，且$A（-\frac{b}{k}\;，\;0）\;，\;\;B（0\;，\;b）$，…（7分）
又l与圆C相切，则C点到直线l的距离等于圆的半径2，
即：$\frac{|b|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2⇒{b^2}=4{k^2}+4$，①，…（8分）
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}（-\frac{b}{k}）b=\frac{{-{b^2}}}{2k}$②…（9分）
将①代入②得${S_{△ABC}}=\frac{{-（4{k^2}+4）}}{2k}=2（-k+\frac{1}{-k}）≥4\sqrt{（-k）•\frac{1}{-k}}=4$，当且仅当k=-1时取等号，所以当k=-1时，△ABC的面积最小，此时${b^2}=4{k^2}+4=8，\;\;\;\;b=2\sqrt{2}$，…（11分）
直线l的方程为：$y=-x+2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．