Question

2．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a+1）{x^2}+x-\frac{1}{3}$（a∈R）．
（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（2）当a≤1时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，列出表格求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．

解答 解：（1）$f'（x）=a{x^2}-（a+1）x+1=a（x-1）（x-\frac{1}{a}）$，
∵a＜0，∴$\frac{1}{a}＜1$

	$（-∞，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以f（x）的极小值为$f（\frac{1}{a}）=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}$，
极大值为$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）$．
（2）由（1）得$f'（x）=a{x^2}-（a+1）x+1=a（x-1）（x-\frac{1}{a}）$，
①当a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上递减．
又因为$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（2）=\frac{1}{3}（2a-1）＜0$，
所以f（x）在[0，2]上有两个零点；
②当a=0时，$f（x）=-\frac{1}{2}x+x-\frac{1}{3}$，在[0，2]上有两个零点；
③当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}≥2$，f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上递减，
又因为$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（2）=\frac{1}{3}（2a-1）≤0$，
所以f（x）在[0，2]上有两个零点；
④当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，$1＜\frac{1}{a}＜2$，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在$（1，\frac{1}{a}）$上递减，在$（\frac{1}{a}，2）$上递增．
又因为$f（1）=-\frac{1}{6}（a-1）＞0$，$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，$f（\frac{1}{a}）=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}=\frac{-（2a-1）（a-1）}{{6{a^2}}}＞0$，
所以f（x）在[0，1]上有且仅有一个零点，在[1，2]上没有零点，
所以f（x）在[0，2]上有且仅有一个零点；
⑤当a=1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[0，2]单调递增，
∵$f（0）=-\frac{1}{3}＜0$，f（2）＞0，
所以f（x）在[0，2]上有且仅有一个零点，
综上可知，当$\frac{1}{2}＜a≤1$时，f（x）在[0，2]上有且仅有一个零点；
当$a≤\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，2]上有两个零点．

点评 本题考查了求函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．