Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n，若S_n=n²a_n，则a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，利用累乘法即可求得数列{a_n}的通项．

解答 解：∵S_n=n²a_n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，又n-1≥1，
∴（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
又a₁=1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$…$\frac{2}{1}$•1=$\frac{2}{n（n+1）}$．
故答案为：$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列递推式，求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$是关键，考查转化思想与累乘法的应用，属于中档题．