Question

18．已知数列{a_n}的各项均为正数，${a_1}=2，{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{4}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$，若数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n-1}}+{a_n}}}}\right\}$的前n项和为5，则n=120．

Answer 1

分析 先求出数列的通项公式，即可得到2$\sqrt{n+1}$=22，解得即可．

解答 解：∵数列{a_n}的各项均为正数，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，
∴a_n+1²-a_n²=4，
∴a_n+1²=a_n²+4，
∴a_n+1=$\sqrt{4+{a}_{n}^{2}}$
∵a₁=2，
∴a₂=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴a₃=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$，
a₄=$\sqrt{4+12}$=2$\sqrt{4}$，
…
由此猜想a_n=2$\sqrt{n}$．
∵${a_1}=2，{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{4}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$，若数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n-1}}+{a_n}}}}\right\}$的前n项和为5，
∴$\frac{1}{4}$（a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n）=$\frac{1}{4}$（a_n+1-2）=5
∴2$\sqrt{n+1}$=22
解得n+1=121，
∴n=120．
故答案为：120．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．