Question

9．已知函数f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$是偶函数．
（1）求不等式f（x）＜$\frac{5}{2}$的解集；
（2）对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-18恒成立，求实数m的最大值及此时x的取值．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x），可求得a=1．由f（x）＜$\frac{5}{2}$，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$＜$\frac{5}{2}$，即可求得不等式f（x）＜$\frac{5}{2}$的解集为（-1，1）；
（2）由f（2x）≥mf（x）-18得m≤$\frac{f（2x）+18}{f（x）}$=$\frac{{{（2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}-2+18}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$=f（x）+$\frac{16}{f（x）}$，利用基本不等式可得f（x）+$\frac{16}{f（x）}$≥8，从而可求得实数m的最大值及此时x的取值．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，且是偶函数，∴f（-x）=f（x），即2^-x+$\frac{a}{{2}^{-x}}$=2^x+$\frac{a}{2^x}$，∴a=1．
f（x）＜$\frac{5}{2}$，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$＜$\frac{5}{2}$，整理得：$\frac{1}{2}$＜2^x＜2，∴-1＜x＜1．
∴不等式f（x）＜$\frac{5}{2}$的解集为（-1，1）…6分
（2）∵f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，当且仅当x=0时取等号，…7分
由f（2x）≥mf（x）-18得m≤$\frac{f（2x）+18}{f（x）}$=$\frac{{{（2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}-2+18}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$=f（x）+$\frac{16}{f（x）}$…9分
∵f（x）+$\frac{16}{f（x）}$≥8，当且仅当f（x）=4时取等号，
∴实数m的最大值为8．…10分
由2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=4得：2^x=2±$\sqrt{3}$，
∴x=${log}_{2}（2±\sqrt{3}）$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查指数函数的运算性质与基本不等式的应用，属于中档题．