Question

13．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F₁，F₂，∠F₁MF₂=120°，△MF₁F₂的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G长轴上的点P（t，0）的直线l与椭圆O：x²+y²=1相切于点Q（Q与P不重合），交椭圆G于A，B两点，若|AQ|=|BP|，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：焦点在x轴上，M为椭圆的上顶点，则丨MF₁丨=a，∠F₁MF₂=120°，则c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=acos60°=$\frac{1}{2}$a，根据三角形的面积公式可知：△MF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$•（2c）•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$．即可求得a和b的值，求得椭圆G的方程；
（2）由题意设出l：y=k（x-t），得到OQ所在直线方程，求出Q的坐标，由直线和圆相切得到k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，再联立直线方程和椭圆方程，由|AQ|=|BP|可得AB中点与PQ中点重合，由此列式求得k值，代入k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，求得t值．

解答 解：（1）由椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，M为椭圆的上顶点，则丨MF₁丨=a，
由∠F₁MF₂=120°，
∴c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=acos60°=$\frac{1}{2}$a，
由△MF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$•（2c）•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$．
解得：a=2，则b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，
则l：y=k（x-t），
则OQ所在直线方程为y=-$\frac{1}{k}$，
由O到直线l的距离d=$\frac{丨-kt丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得：Q（$\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{kt}{1+{k}^{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$，
由题意可知，AB中点与PQ中点重合，
则$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}+t}{2}$，即k²=$\frac{1}{2}$．
由k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，得t=±$\sqrt{3}$．
∴实数t的值为±$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆方程求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．