Question

1．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₂=4，S₅=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_n2^n-1，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程组，求出a₁和d，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和指数的运算性质化简b_n，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}×d=30}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2+（n-1）•2=2n；
（2）由（1）得，b_n=a_n2^n-1=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列的通项公式，等比中项的性质，等比数列的前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，考查方程思想，化简、变形能力．