Question

16．如图，正四棱锥S-ABCD中．SA=AB=2，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．
（1）求证：EP⊥AC；
（2）试探究当点P在线段FG的何位置时使得直线BP与平面EFG所成的角取到最大值．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于O，则SO⊥底面ABCD，从而SO⊥AC，又BD⊥AC，从而AC⊥平面SBF，进而AC⊥SO，由此能证明PE⊥AC．
（2）设AB=2，建立空间直角坐标系，求出面EFG的法向量，设BP与平面EFG所成角为α，由向量法能求出点P在线段FG上，λ=1时sinα取最大值．

解答 （1）证明：设AC交BD于O，
∵S-ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，
∴SO⊥AC，（1分）
∵BD⊥AC，SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBF，∴AC⊥SO，
∵SD∥FG，∴AC⊥GF，
又AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，
∵PE?面GEF，∴PE⊥AC．（4分）
（2）解：设AB=2，如图建立空间直角坐标系，
则G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{GF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（5分）
设$\overrightarrow{GP}$=$λ\overrightarrow{GF}$=（$\frac{λ}{2}$-，-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$），故点P（$\frac{λ}{2}$，1-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$）
∴$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{λ}{2}$-1，2-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$），（6分）
设面EFG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\end{array}\right.$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0）（7分）
设BP与平面EFG所成角为α，
则sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{\sqrt{{λ}^{2}-3λ+5}}$（8分）
∵点P在线段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=1时sinα取最大值，
此时点P与点F重合．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角最大时点的位置，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．