Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{d}$=（sinx，sinx）．
（1）当x=$\frac{π}{4}$时，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$取得最大值时x的值；
（3）设函数f（x）=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}）$，将函数f（x）的图象向右平移s个单位长度，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1；令$\overrightarrow{m}$=（s，t），求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）当x=$\frac{π}{4}$时，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|a|•|b|}$，即可求向量向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）化简 $\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$的表达式，通过相位的范围，利用正弦函数的值域求解其最大值；
（3）通过三角变换求出函数g（x）的表达式，与g（x）=2sin2x+1对照比较，得到$\overrightarrow{m}$=（s，t），即可求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

解答 解：（1）当x=$\frac{π}{4}$时，向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx）=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx）=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）•（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
而|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{0+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|a|•|b|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）
=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ即x=$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）时，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$取得最大值$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$；
（3）f（x）=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}）$
=（$\sqrt{3}$cosx，cosx-sinx）•（2sinx，cosx+sinx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
g（x）=f（x-s）+t=2sin[2（x-s）+$\frac{π}{6}$]+t=2sin（2x-2s+$\frac{π}{6}$）+t=2sin2x+1，
∴t=1，s=$\frac{π}{12}$+kπ，（k∈Z）
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{s}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{π}{12}+kπ）^{2}+1}$，
∴当k=0时，∴|$\overrightarrow{m}$|_min=$\sqrt{（\frac{π}{12}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{{π}^{2}+144}}{12}$．

点评 本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，三角函数图象的平移变换，向量的模等知识，考查分析问题解决问题的能力．