Question

10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P取得最小值，若此最小值为$2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，则a的值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 把对角面A₁C绕A₁B旋转，使其与△AA₁B在同一平面上，连接AD₁，则在△AA₁D中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：把对角面A₁C绕A₁B旋转，使其与△AA₁B在同一平面上，连接AD₁，则在△AA₁D中，
由$A{D_1}=\sqrt{{a^2}+{a^2}-2{a^2}cos{{135}°}}=a\sqrt{2+\sqrt{2}}$，而$a\sqrt{2+\sqrt{2}}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
∴a=2．
故选：B．

点评 本题考查了正方体的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．