Question

4．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在函数y=x+$\frac{1}{x}（{x＞0}）$的图象上．记AB=m，BC=n，则$\frac{m}{n^2}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把C，D的坐标代入函数解析式，得到x₁x₂=1，再代入$\frac{m}{n^2}$，利用换元法结合二次函数求最值．

解答 解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵y₁=y₂，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}={x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$，x₁≠x₂，
∴x₁x₂=1．
∴$\frac{m}{n^2}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）^{2}}=\frac{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}}{（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）^{2}}=\frac{t}{{t}^{2}+4}$$≤\frac{1}{4}$，$t={x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}＞0$，
当且仅当t=2时成立．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查对勾函数，考查了函数值域的求法，考查数学转化思想方法，属中档题．