Question

16．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆x²+y²=b²，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A． 0＜e≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$≤e＜1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$＜e＜1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1

Answer 1

分析 由题意可知：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由图可知：O、P、A、B四点共圆，∠APB=60°，则∠APO=∠BPO=30°，cos∠AOP=$\frac{b}{丨OP丨}$=$\frac{1}{2}$，|OP|=2b，因此b＜|OP|≤a，即2b≤a，由a²=b²+c²，可得3a²≤4c²，e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．

解答 解：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=$\frac{b}{丨OP丨}$=$\frac{1}{2}$，
∴|OP|=$\frac{b}{\frac{1}{2}}$=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，
由a²=b²+c²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{3}{4}$，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
故选D．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．