Question

11．在如图所示的多面体中，底面BCFE是梯形，EF∥BC，EF⊥EB，又平面ABE⊥平面BCFE，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$．
（1）在BC上是否存在点G，使BD⊥EG，若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF⊥平面ABE，AE⊥BE，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出G为BC中点时，BD⊥EG；
（2）求出平面EFDA的一个法向量和平面DCF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-DF-E的正弦值．

解答 解：（1）∵平面ABE⊥平面BCFE，平面ABE∩平面BCFE=BE，EF⊥EB，
∴EF⊥平面ABE，
∵AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，…（2分）
如图建立空间直角坐标系E-xyz，
则B（2，0，0）D（0，2，2），E（0，0，0）$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，2）
假设在BC上存在点G，使BD⊥EG存在，设G（2，t，0），
则$\overrightarrow{EG}$=（2，t，0），
要使BD⊥EG，只需$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EG}$=-4+2t=0，解得t=2，
即G为BC中点时，BD⊥EG．…6 分
（2）由已知可得$\overrightarrow{EB}$=（2，0，0）是平面EFDA的一个法向量．…（7分）
设平面DCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
F（0，3，0），C（2，4，0），$\overrightarrow{FD}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{FC}$=（2，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），…（9分）
设二面角C-FD-E的大小为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
sinθ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，…（11分）
∴二面角C-DF-E的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．