Question

8．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，EF∥AD，且AB=6，AE=3$\sqrt{2}$，EF=3．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABF；
（Ⅱ）求二面角A-FD-B与二面角A-BF-D的正切值之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面ABF．
（Ⅱ）求出平面BFD的法向量和平面AFD的法向量，利用向量法能求出二面角A-FD-B与二面角A-BF-D的正切值之比．

解答 证明：（Ⅰ）∵如四边形ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，
∴如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（6，0，0），$F（0，3，3\sqrt{2}）$，D（0，6，0），$E（0，0，3\sqrt{2}）$，（2分）
$\overrightarrow{DE}=（0，-6，3\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（6，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，3，3\sqrt{2}）$
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AB}=0$，且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AF}=0-18+18=0$
∴DE⊥AB，DE⊥AF，
又AB∩AF=A，∴DE⊥平面ABF．
解：（Ⅱ）设平面BFD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由（Ⅰ）知$\overrightarrow{DF}=（0，-3，3\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（6，-6，0）$
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=-3y+3\sqrt{2}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=6x-6y=0\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$
又平面AFD的法向量为$\overrightarrow{AB}=（6，0，0）$
由（1）可知平面ABF的法向量为$\overrightarrow{DE}$=（0，-6，3$\sqrt{2}$），
设二面角A-FD-B的大小为α，α是锐角
则$cosα=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{6\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，∴$tanα=\frac{{\sqrt{1-\frac{10}{25}}}}{{\frac{{\sqrt{10}}}{5}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
设二面角A-BF-D的大小为β，β是锐角，
则$cosβ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{DE}}|}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{3\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$tanβ=\frac{{\sqrt{1-\frac{1}{3}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\sqrt{2}$，
∴二面角A-FD-B与二面角A-BF-D的正切值之比$\frac{tanα}{tanβ}=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角与二面角的正切值之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．