Question

13．已知函数f（x）=2-$\frac{ax+2}{{e}^{x}}$（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导函数，再分类讨论即可求出函数的单调区间，
（2）根据函数的单调性和最值得关系分类讨论即可求出参数m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
则f′（x）=-$\frac{ax-a+2}{{e}^{x}}$，
若a＞0，令f′（x）＜0，解得x＜$\frac{a-2}{a}$，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{a-2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上单调递减，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）单调递增，
若a＜0，令f′（x）＞0，解得x＜$\frac{a-2}{a}$，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{a-2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上单调递增，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）单调递减，
若a=0，f′（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$＞0，
∴f（x）在R上单调递增；
（2）注意到f（0）=0，即当x≥0时，f（x）≥f（0），
①当a＞0时，f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上单调递减，关故由f（x）≥f（0）可得$\frac{a-2}{a}$≤0，解得0＜a≤2，
②当a＜0时，$\frac{a-2}{a}$＞0，由于f（x）在[0，$\frac{a-2}{a}$）上单调递增，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）单调递减，
当0＜x＜$\frac{a-2}{a}$时，f（x）＞f（0）=0，
当x＞$\frac{a-2}{a}$时，-ax-2＞-a＞0，
f（x）=2-$\frac{ax+2}{{e}^{x}}$=2+$\frac{-ax-2}{{e}^{x}}$＞2，
故有f（x）＞0，
③当a=0时，f（x）在R上单调递增，
∴f（x）≥f（0）恒成立，
综上所述a的取值范围为（-∞，2]

点评 本题考查导数的运用，求单调区间和最值，考查运算能力，分类讨论的思想，属于中档题．