Question

1．已知f（x）=-x²+m|x|，且x＞0时，（x-2）f′（x）＜0，有以下4个条件，其中不能推出f（a）＜f（b）的条件是（　　）

• A． a＞b＞2
• B． a＞3，-3＜b＜-1
• C． a＜0＜b，a+b＞0
• D． a＞2，-2＜b＜0，a-b＞4

Answer 1

分析 先根据函数的奇偶性得到函数为偶函数，再根据导数和函数的单调性关系得到函数的单调区间，继而根据单调性判断各选项即可．

解答 解：∵f（x）=-x²+m|x|，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∵x＞0时，（x-2）f′（x）＜0，
∴当x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
∴f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上为增函数，在（-2，0）和（2，+∞）为减函数，
当a＞b＞2时，f（a）＜f（b），故成立；
当a＞3，-3＜b＜-1，则1＜-b＜3，f（-b）＞f（a），即f（b）＞f（a），故成立；
当a＜0＜b，a+b＞0，则b＞-a，此时不判断f（-a）与f（b）的大小，故不成立；
当a＞2，-2＜b＜0，a-b＞4，则0＜-b＜2，且2-b＜a-2，故此时能得到f（b）＞f（a），故成立，
故选：C．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系以及函数的奇偶性，属于中档题．