Question

10．已知函数f（x）=（2ax-lnx）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求导f′（x）=4ax-lnx-1，设g（x）=lnx+1-4ax，函数f（x）=（2ax-lnx）x有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．分类当a≤0时，g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递减，g（x）=0在区间（0，+∞）上没有两个实数根，当a＞0时，g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此时函数g（x）单调递减；令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此时函数g（x）单调递增，当x=$\frac{1}{4a}$时，函数g（x）取得极小值，使函数f（x）=（2ax-lnx）x有两个极值点，只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=（2ax-lnx）x=2ax²-xlnx（x＞0），f′（x）=4ax-lnx-1．
设g（x）=4ax-lnx-1，
∵函数f（x）=（2ax-lnx）x有两个极值点，
则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{4ax-1}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递减，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上没有两个实数根，舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{4a}$．
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此时函数g（x）单调递减；
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此时函数g（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{4a}$时，函数g（x）取得极小值．
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．
故选A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．