Question

20．已知定义在R上的可导函数f（x）图象既关于直线x=1对称，又关于直线x=5对称，且当x∈[1，5]时，有f′（x）＞3f（x），则下列各式成立的是（　　）

• A． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＜f（-19）
• B． e³f（-14）＞f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• C． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• D． e³f（-14）＞f（-4），e³f（-10）＜f（-19）

Answer 1

分析 造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，根据导数判断函数g（x）在[1，5]上单调递增，根据函数的对称性和函数的单调性得到g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），化简即可得到．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-3f（x）}{{e}^{3x}}$，
∵当x∈[1，5]时，有f′（x）＞3f（x），
∴g′（x）＞0，在x∈[1，5]上恒成立，
∴g（x）在[1，5]上单调递增，
∵f（x）图象既关于直线x=1对称，又关于直线x=5对称，
∴f（x）=f（x+2），f（x）=f（x+10），
∴f（-14）=f（-14+20）=f（6）=f（6-2）=f（4），f（-5）=f（-5+10）=f（5），
f（-10）=f（-10+10）=f（0+2）=f（2），
f（-4）=f（-4+10）=f（6）=f（6-2）=f（4），
f（-19）=f（-19+10）=f（-9）=f（-9+2）=f（-7）=f（-7+10）=f（3），
∴g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），
∴$\frac{f（5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（3）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{6}}$，
∴$\frac{f（-5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（-14）}{{e}^{12}}$=$\frac{f（-4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（-19）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（-10）}{{e}^{6}}$，
∴e³f（-10）＜f（-19），e³f（-14）＜f（-5），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性和函数的对称性以及导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于难题．