Question

9．已知实数m，n满足2m-n=3．
（1）若|m|+|n+3|≥9，求实数m的取值范围；
（2）求$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式可得|m|≥3，由此求得实数m的取值范围．
（2）由条件利用绝对值三角不等式求得$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值．

解答 解：因为2m-n=3，所以2m=n+3．
（1）|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9，∴|m|≥3，∴m≤-3或m≥3．
（2）$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|=|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}（2m-3）}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}（2m-3）}|=|{m+1}|+|{m-2}|≥3$，
当且仅当-1≤m≤2（或-5≤n≤1）时等号成立，
所以$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|$的最小值是3．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，式子的变形是解决问题的关键，属于中档题．