Question

4．已知f（x）=$\frac{x}{x+1}$，x≥0，若f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N₊，则f₂₀₁₆（x）的表达式为${f_{2016}}（x）=\frac{x}{1+2016x}$．

Answer 1

分析 由题意，可先求出f₁（x），f₂（x），f₃（x）…，归纳出f_n（x）的表达式，即可得出f₂₀₁₆（x）的表达式．

解答 解：由题意f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{x+1}}{1+\frac{x}{x+1}}=\frac{x}{1+2x}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{\frac{x}{2x+1}}{1+\frac{x}{2x+1}}=\frac{x}{1+3x}$，
…
f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{1+nx}$，
归纳法得：${f_{2016}}（x）=\frac{x}{1+2016x}$．
故答案为：${f_{2016}}（x）=\frac{x}{1+2016x}$．

点评 本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征，是基础题．