Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E，F分别为BC、PD的中点，若PA=AD=4，AB=2．
（1）求证：EF∥平面PAB．
（2）求直线EF与平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），平面PAB的一个法向量是$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0），证明$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{AD}$，即可证明EF∥平面PAB；
（2）求出平面PCD的一个法向量，即可求直线EF与平面PCD所成的角．

解答 （1）证明：依题意，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在
直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）C（2，4，0），E（2，2，0），F（0，2，2）------------------（2分）
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），平面PAB的一个法向量是$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0）------（4分）
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AD}$=0，
∴$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{AD}$，
故 EF∥平面PAB-----------------------------------------------（6分）
（2）∵$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-4，4）（7分）
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
则$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-4y+4z=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=z\end{array}\right.$∴令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）-----------------------------------（9分）
而$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{0+0+2}{\sqrt{4+4}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{m}$＞=60°----------------------------------（11分）
所以EF与平面PCD所成的角是90°-60°=30°----------------------------（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．