Question

2．如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中ABCD为矩形，△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，AB=2AD=2AE=2．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面ABCD⊥平面ABE，得出BC⊥平面ABE，BC⊥AE；再由AE⊥BE，得出AE⊥平面BCE，即可证明平面ACE⊥平面BCE；
（Ⅱ）【解法一】，由AB∥CD，得出CD与平面ACE所成角的大小即可为AB与平面ACE所成角的大小，求出AB与平面ACE所成的角的正弦值即可．
【解法二】以E为原点，EB、EA所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{CD}$的夹角余弦值，求出BC与平面DAB所成的角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，
BC⊥AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，
又AE?平面ABE，
∴BC⊥AE；
又∵AE⊥BE，BC∩BE=E，
∴AE⊥平面BCE；
又AE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BCE；
（Ⅱ）【解法一】∵AB∥CD，
∴CD与平面ACE所成角的大小等于AB与平面ACE所成角的大小；
过B作BF⊥CE于F，连接AF，如图1：

∵平面ACE⊥平面BCE，
平面ACE∩平面BCE=CE，
BF?平面BCE；
∴BF⊥平面ACE；
∴∠BAF即为AB与平面ACE所成的角，
由BC=1，BE=$\sqrt{3}$，得CE=2，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴sin∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直线CD与平面ACE所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
【解法二】以E为原点，EB、EA所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，如图2所示；

则E（0，0，0），A（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，1），D（0，1，1）；
于是$\overrightarrow{EA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（$\sqrt{3}$，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ACE的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}|×|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
所以BC与平面DAB所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了空间中的平行和垂直位置关系的判断，以及直线与平面所成角的应用问题，是综合性题目．