Question

4．歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690-1764）曾研究过“所有形如$\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}$（m，n为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…）+（\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…）+…+（\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^4}}}+…）+…$
写出你对此问题的研究结论：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}=1}}$（用数学符号表示）．

Answer 1

分析 分别求出$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…，$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…，$\frac{1}{{（n+）}^{2}}$+$\frac{1}{{（n+1）}^{3}}$+$\frac{1}{{（n+1）}^{4}}$+…的极限，再代入∑_n-1^φ∑_m-1^φ$\frac{1}{{（n+1）}^{m+1}}$中，通过裂项法求得答案．

解答 解：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…）+（\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…）+…+（\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{{{{（n+1）}^4}}}+…）+…$
=$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}}{1-\frac{1}{3}}$+…+$\frac{\frac{1}{{（n+1）}^{2}}}{1-\frac{1}{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$，
当n→+∞时，$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=1．
故答案为：$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{（n+1）}^{m+1}}}}}}$=1．

点评 本题主要考查了用裂项法求和的应用问题，是综合性问题．