Question

5．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+（{a-6}）x$，g（x）=-x²+lnx-1
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对?x₁，x₂∈[1，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数列表判断
（2）利用导数求解函数最大值，最小值，转化为f（x）的最小值，g（x）的最大值比较即可，得出即$\frac{1}{3}{x^3}+（a-6）x＞-2a＞-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x{f^/}（x）={x^2}-4$
令f′（x）=0得x₁=-2x₂=2

x	（-∞，-2）	（-2，2）	（2，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞），递减区间为（-2，2）
（2）${g^/}（x）=-2x+\frac{1}{x}$若x∈[1，+∞）则g′（x）＜0
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为-2  
要使f（x₁）＞g（x₂）成立
即f（x）＞-2，x∈[1，+∞）恒成立     
即$\frac{1}{3}{x^3}+（a-6）x＞-2a＞-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立
令$h（x）=-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$求得它在[1，+∞）的最大值为$6-\root{3}{9}$
∴$a＞6-\root{3}{9}$

点评 本题综合考查了运用导数解决函数单调性，的问题，关键判断最值，得出恒成立的条件．