Question

9．把数列$\left\{{\frac{1}{{{n^2}+n}}}\right\}$依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，…，按此规律下去，即$（{\frac{1}{2}}），（{\frac{1}{6}，\frac{1}{12}}），（{\frac{1}{20}，\frac{1}{30}，\frac{1}{42}}）$，…，则第6个括号内各数字之和为$\frac{3}{176}$．

Answer 1

分析 利用裂项相消法，求出前面6个括号的数的总和，及前5个括号数的总和，相减可得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故数列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
由于第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，…
故前6个括号的数共有1+2+3+4+5+6=21个，
前面6个括号的数的总和为：S₂₁=$\frac{21}{22}$，
故前5个括号的数共有1+2+3+4+5=15个，
前面5个括号的数的总和为：S₁₅=$\frac{15}{16}$，
故第6个括号内各数字之和为$\frac{21}{22}-\frac{15}{16}$=$\frac{3}{176}$，
故答案为$\frac{3}{176}$．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，数列求和，其中分析出数列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n项和S_n=$\frac{3}{176}$是解答的关键．