Question

8．已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过点A（0，1）及$B（\frac{π}{2}，1）$
（1）已知b＞0，求f（x）的单调递减区间；
（2）已知$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a取上述范围内的最大整数值时，若有实数m，n，φ，使得mf（x）+nf（x-φ）=1对于x∈R恒成立，求m，n，φ的值．

Answer 1

分析 由已知列式得到b，c与a的关系，把函数解析式用含有a的代数式表示．
（1）直接利用与正弦函数有关的复合函数的单调性求得f（x）的单调递减区间；
（2）设sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则y=$\sqrt{2}$（1-a）t+a，由x得范围得到t的范围，然后对1-a＞0、1-a=0、1-a＜0分类讨论求解得答案；
（3）由题意知a=8，则由mf（x）+nf（x-φ）=1得8（m+n）-7$\sqrt{2}$msin（x+$\frac{π}{4}$）-7$\sqrt{2}$nsin（x+$\frac{π}{4}$-φ）=1．令x+$\frac{π}{4}$=X，得8（m+n）-7$\sqrt{2}$（m+ncosφ）sinX+7$\sqrt{2}$nsinφcosX=1．
要使上式对任意X恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{8（m+n）=1}\\{m+ncosφ=0}\\{nsinφ=0}\end{array}\right.$，由此求得答案．

解答 解：由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a+b=1}\\{f（\frac{π}{2}）=a+c=1}\end{array}\right.$，则b=c=1-a，
∴f（x）=（1-a）（sinx+cosx）+a=$\sqrt{2}$（1-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+a．
（1）∵1-a=b＞0，由2kπ+$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，得：2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，
∴f（x）的递减区间为[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z；
（2）设sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则y=$\sqrt{2}$（1-a）t+a，
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），则t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
①当1-a＞0时，f（x）∈（1，$\sqrt{2}$（1-a）t+a]，此时|f（x）|≤2恒成立，
只需$\sqrt{2}$（1-a）t+a≤2，得a∈[-$\sqrt{2}$，1）；
②当1-a=0时，f（x）=1，满足题意；
②当1-a＜0时，f（x）∈[$\sqrt{2}$（1-a）t+a，1），此时|f（x）|≤2恒成立，
只需$\sqrt{2}$（1-a）t+a≥-2，得a∈（1，4+3$\sqrt{2}$]．
综上所述，a的取值范围为[-$\sqrt{2}$，4+3$\sqrt{2}$]．
（3）可得a=8，则f（x）=8-7$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
由mf（x）+nf（x-φ）=1得8（m+n）-7$\sqrt{2}$msin（x+$\frac{π}{4}$）-7$\sqrt{2}$nsin（x+$\frac{π}{4}$-φ）=1．
令x+$\frac{π}{4}$=X，得8（m+n）-7$\sqrt{2}$（m+ncosφ）sinX+7$\sqrt{2}$nsinφcosX=1．
要使上式对任意X恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{8（m+n）=1}\\{m+ncosφ=0}\\{nsinφ=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{sinφ=0}\\{cosφ=1}\\{m=n=\frac{1}{16}}\end{array}\right.$．
所以m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{16}$，φ=2kπ+π，k∈Z．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了函数恒成立问题的求解方法，是中档题．