Question

5．已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且经过点A（5，2），B（3，2）
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过点P（2，1）且与圆C相交，所得弦长为2$\sqrt{6}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求由题意可知，圆心应在线段AB的中垂线上，求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）直线l过点P（2，1）且与圆C相交，所得弦长为2$\sqrt{6}$，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设圆心P（x₀，y₀），由题意可知，圆心应在线段AB的中垂线上，
其方程为x=4．由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$得圆心P（4，5），
∴半径r=|PA|=$\sqrt{10}$．
∴圆的标准方程为（x-4）²+（y-5）²=10．…（6分）
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），整理得kx-y+1-2k=0，
则圆心到直线的距离为d=$\frac{2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
由题意可知，（$\frac{2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\sqrt{6}$）²=10，
解得k=$\frac{3}{4}$．故所求直线方程为3x-4y-2=0或x=2．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．