Question

15．设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=4时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a-1|，再根据|a-1|≥5，求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6，即|x-1|+|x-a|=|x-1|+|x-4|≥6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+4-x≥6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{x-1+4-x≥6}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{x-1+x-4≥6}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-$\frac{1}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得 x≥$\frac{11}{2}$，
综上可得，不等式的解集为{|x≤-$\frac{1}{2}$，或  x≥$\frac{11}{2}$}．
（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，而f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-（x-a）|=|a-1|，
∴|a-1|≥5，即a-1≥5，或 a-1≤-5，求得a≥6，或 a≤-4．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．