Question

3．如图，已知O，A，B是平面内不共线的三点，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，直线OA，OB，AB将平面区域分成7部分，若点P落在区域①中（含边界），则z=2x+y的最大值为（　　）

• A． 不存在
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意，点P在△OAB内（含边界）运动，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，得到x，y的约束条件，求目标函数的最大值即可．

解答 解：因为点P在△OAB内（含边界）运动，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$，
画出不等式组对应的平面区域，如图所示，
由z=2x+y，
当直线y=-2x+z经过点A（1，0）时，在y轴的截距最大，
所以z的最大值为2．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量基本定理以及简单的线性规划问题，是综合性题目．