Question

14．袋中有一个白球，二个红球和二个黑球，五个球的大小，形状，质地完全相同．
（1）若每次从中任取一球，每次取出的球3不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列和均值．
（2）若从袋中五个球任取一个球，取出的球是红球，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数Y的均值和方差．

Answer 1

分析 （1）X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，利用P（X=k）=$\frac{{A}_{4}^{k-1}×1}{{A}_{5}^{4}}$（k=1，2，3，4，5）即可得出．
（2）一次试验成功的概率是$P=\frac{2}{5}$，由$P（Y=k）=C_{10}^k{（\frac{2}{5}）^k}{（1-\frac{2}{5}）^{30-k}}$，可得$Y～B（30{，^{\;}}\frac{2}{5}）$，利用二项分布列的计算公及其性质即可得出．

解答 解：（1）X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，且$P（X=1）=\frac{1}{5}$，$P（X=2）=\frac{A_4^1×1}{A_5^2}=\frac{1}{5}$，$P（X=3）=\frac{A_4^2×1}{A_5^3}=\frac{1}{5}$，$P（X=4）=\frac{A_4^3×1}{A_5^4}=\frac{1}{5}$，$P（X=5）=\frac{A_4^4×1}{A_5^5}=\frac{1}{5}$．
因此X的分布列是：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$

X的均值$E（X）=1×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{5}+5×\frac{1}{5}=3$．
（2）一次试验成功的概率是$P=\frac{2}{5}$，
∵$P（Y=k）=C_{10}^k{（\frac{2}{5}）^k}{（1-\frac{2}{5}）^{30-k}}$，∴$Y～B（30{，^{\;}}\frac{2}{5}）$，
∴Y的均值$E（Y）=np=30×\frac{2}{5}=12$，
Y的方差$D（Y）=np（1-p）=30×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．