Question

12．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，且都不与A，B，D重合，线段PQ的长为1，△CPQ的面积用y表示．
（1）设∠QPA=θ，试用y表示为θ的函数；
（2）求△CPQ的面积y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得|AP|=cosθ，|AQ|=sinθ，|BP|=1-cosθ|DQ|=1-sinθ，即可用y表示为θ的函数；
（2）令$cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）=t$，则1+2sinθcosθ=t²，得$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，利用配方法求△CPQ的面积y的最小值．

解答 解：（1）由已知得|AP|=cosθ，|AQ|=sinθ，∴|BP|=1-cosθ|DQ|=1-sinθ.$y={S_{△CPQ}}=1-[{\frac{1}{2}sinθcosθ+\frac{1}{2}（1-cosθ）+\frac{1}{2}（1-sinθ）}]$…（2分）
=$1-[{\frac{1}{2}sinθcosθ-\frac{1}{2}（cosθ+sinθ）+1}]$
=$\frac{1}{2}（cosθ+sinθ-cosθsinθ）（0＜θ＜\frac{π}{2}$）…（4分）．
（2）令$cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）=t$…（6分）
则1+2sinθcosθ=t²，得$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
∴$y=\frac{1}{2}（t-\frac{{{t^2}-1}}{2}）=\frac{1}{2}（-\frac{1}{2}{t^2}+t+\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}{（{t-1}）^2}+\frac{1}{2}$…（8分）
∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜θ+\frac{π}{4}＜\frac{3}{4}π$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜sin（θ+\frac{π}{4}）≤1$，∴$1＜t≤\sqrt{2}$…（10分）
∴${y_{min}}=\frac{{2\sqrt{2}-1}}{4}$…（12分）

点评 本题考查三角函数知识的运用，考查换元、配方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．