Question

17．已知点$F（0，\frac{1}{4}）$是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，设A（2，y₀）是抛物线上的一点．
（1）求该抛物线在点A处的切线l的方程；
（2）求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意，抛物线的方程为x²=y，A（2，4），求出切线斜率，可得该抛物线在点A处的切线l的方程；
（2）利用定积分求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．

解答 解：（1）由题意，抛物线的方程为x²=y，A（2，4），
∵y=x²，∴y′=2x，
∴x=2时，y′=4，
∴该抛物线在点A处的切线l的方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；
（2）曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积S=${∫}_{0}^{2}（{x}^{2}-4x+4）dx$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+4x$）${|}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查定积分求面积，属于中档题．