Question

6．已知函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（Ⅰ）当a∈R时，讨论f （x）的单调性；
（Ⅱ）若实数a满足a≤-1，且函数g（x）=4x³+3（b+4）x²+6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同，求证：g（x）的极小值小于等于0．

Answer 1

分析 （I）求解f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1，分类讨论求解不等式，利用导数与不等式的关系，得出单调区间．
（II）利用极值的求解得出f（x）的极小值是x=-a-1，从而g（x）的极小值点也是x=-a-1，根据函数关系得出-$\frac{b+2}{2}$=-a-1，即b=2a，
a≤-1，故g（x）的极小值g（-a-1）=-（1+a）²（4-2a）≤0，

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1
f′（x）=e^x（x+1）（x+a+1）
由f′（x）=0，得x=-1，或x=-a-1
（1）当a=0时，f′（x）=e^x（x+1）²≥0，f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
（2）当a＞0时，f（x）在（-a-1，-1）上为减函数；f（x）在（-∞，-a-1）、（-1，+∞）上为增
函数，
（3）当a＜0时，f（x）在（-1，-a-1）上为减函数；f（x）在（-∞，-1）、（-a-1，+∞）上为增
函数，
（Ⅱ）∵a≤-1，∴-a-1＞-1，
又f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]=e^x（x+a+1）（x+1），
∴f（x）的极小值是x=-a-1，从而g（x）的极小值点也是x=-a-1
又g′（x）=12（x+1）（x+$\frac{b+2}{2}$）
∴-$\frac{b+2}{2}$=-a-1，即b=2a
因为a≤-1，
故g（x）的极小值g（-a-1）=-（1+a）²（4-2a）≤0，
即g（x）的极小值小于等于0．

点评 本题综合考察了导数的运用解决单调性，极值等问题，分类讨论等思想的运用，属于难度较大的题目．