Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-5x+4lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域与函数的导数，利用导函数的符号求解函数的单调区间．
（2）利用（1）的结果真假求解函数的极值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）要使f（x）有意义，则x的取值范围是（0，+∞）所以函数的定义域为（0，+∞）  （1分）
因为$f'（x）=x+\frac{4}{x}-5$．      （3分）
由f'（x）＞0得$x+\frac{4}{x}-5＞0$．
因为f'（x）=3x²+2ax，所以x=2，解得即f'（2）=0，或a=-3．    （6分）
由f（1）=1+a+b=0得b=2
因为f'（x）=3x²-6x=0，所以x₁=0，x₂=2，即x． （9分）
所以（-∞，0）的单调增区间为0；单调减区间为（0，2）．  （10分）
（2）由（1）知当x=1时，函数f（x）取得极大值为$f（1）=-\frac{9}{2}$（11分）
当x=4时，函数f（x）取得极小值为f（4）=-12+4ln4（12分）

点评 本题考查函数的导数，函数的单调性以及极值的求法，考查计算能力．