Question

8．已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，我们易得到函数的解析式，进而求出函数的导函数，列表讨论导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在[1，3]上是减函数，则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
（2）由数g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是减函数．
∴g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，
∴不等式2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤$\frac{2}{x}$-2x²，在[1，3]上恒成立，
令h（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，
∴h′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0，在[1，3]上恒成立，
∴h（x）在[1，3]为减函数，
∴h（x）_min=$\frac{2}{3}$-18=-$\frac{52}{3}$
∴a≤-$\frac{52}{3}$

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，其中根据原函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．