Question

13．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=$\frac{a}{x-4}$+10（x-7）²．其中3＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x（单位：元/千克）的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用代入法，将x=6，y=11，代入函数式，计算即可得到a的值；
（Ⅱ）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²，求出商场每日销售该商品所获得的利润，再求导数，可得在（3，7）的单调区间，及极值，且为最值．

解答 解：（Ⅰ）因为x=6时，y=11，所以$\frac{a}{2}$+10=11，a=2．…（2分）
（Ⅱ）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f（x）=（x-4）[$\frac{2}{x-4}$+10（x-7）²]=2+10（x-4）（x-7）²，（3＜x＜7）…（6分）
从而，f′（x）=10[（x-7）²+2（x-4）（x-7）]=30（x-5）（x-7），
令f′（x）=0，得x=5或x=7（舍去）．
因为当x∈（3，5）时，f′（x）＞0，当x∈（5，7）时，f′（x）＜0，
所以f （x）在（3，7）取得唯一的极大值，也就是最大值．
所以，当x=5时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：当销售价格为5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…（13分）

点评 本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．