Question

2．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx-3x，g（x）=-x²+8x，且x=1是函数f（x）的极大值点．
（1）求a的值．
（2）如果函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（b，b+1）上均为增函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+alnx-3x$（x＞0），求出导函数，利用x=1是函数f（x）的极大值点．求出a．然后验证即可．
（2）求出函数g（x）的单调递增区间．又由（1）可知函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（2，+∞），列出不等式组，求解b 的范围即可．

解答 解：（1）因为函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+alnx-3x$（x＞0）
所以f′（x）=x+$\frac{a}{x}$-3，（x＞0）----------------------（2分），
又因为x=1是函数f（x）的极大值点．
所以${f^′}（1）=\frac{{{1^2}-3×1+a}}{1}=0$，解得a=2---------------------（4分）
检验：当a=2时，${f^′}（x）=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x}$（x＞0）
当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
所以x=1是函数f（x）的极大值点，a=2符合题意．----------------------（6分）
（2）g（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16
所以函数g（x）的单调递增区间是（4，+∞）----------------------（8分）
又由（1）可知函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（2，+∞）
所以依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{b≥0}\\{b+1≤1}\\{b+1≤4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{b≥2}\\{b+1≤4}\end{array}}\right.$----------------------（10分）
解得 b=0或  2≤b≤3
所以实数b的取值范围是{0}∪[2，3]----------------------（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．