Question

12．某几何体三视图如图所示，则这个几何体的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，外接球的体积为$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．

Answer 1

分析 首先由几何体的三视图还原几何体，然后求体积．其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的体积．

解答 解：由已知三视图得该几何体是以底面边长为2的正方形，高为$\sqrt{3}$的四棱锥，
所以其体积为$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的直三棱柱的外接球相同，
如图所示：

由题意可得底面外接圆的半径为：r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由棱柱高为2，可得球心距为1，
故外接球半径为：R=$\sqrt{\frac{4}{3}+1}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
故外接球的体积V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．
故答案为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．

点评 本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．