Question

20．已知f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$ax²+bx．
（Ⅰ）若b=1-a，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=0时函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行判断即可．
（Ⅱ）问把函数有两个零点转化成函数，转化为y=b，与y=$\frac{lnx}{x}$的交点的问题，根据导数判断函数的单调性，即可求出b的范围

解答 解：（Ⅰ）b=1-a，f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x，x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+ax+1-a=$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
当a≥0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1，f′（x）＞0，
当a＜0时，令ax+1=0，解得x=-$\frac{1}{a}$，
①当-$\frac{1}{a}$＞1，即-1＜a＜0时，0＜x＜1，或x＞-$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，1＜x＜-$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0，
②-$\frac{1}{a}$＜1，即a＜-1时，0＜x＜-$\frac{1}{a}$，或x＞1$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，-$\frac{1}{a}$＜x＜1，f′（x）＞0，
③-$\frac{1}{a}$=1时面积a=-1时，f′（x）≤0，
∴当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，
当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，在（1，-$\frac{1}{a}$）单调递增，
当a＜-1时，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）上单调递减，在（-$\frac{1}{a}$，1）单调递增，
当a=-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（Ⅱ）当a=0时，则f（x）=-lnx+bx，令f（x）=0，则b=$\frac{lnx}{x}$，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∵g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得：0＜x＜e；由g′（x）＜0得：x＞e，
∴g（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{1}{e}$，
∵当x＞e时，g（x）＞0恒成立，
当0＜x＜1时，g（x）的大致图象为：，
∵函数有两个不同的零点，
∴0＜b＜$\frac{1}{e}$，
故b的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题综合性较强，考查的知识点比较多，主要考查了函数的单调性、零点、最值等，解决本题的关键是把研究函数的零点个数问题转化成图象的交点个数问题，属于中档题