Question

7．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是菱形，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，A₁B=AB=AA₁=2，△AA₁C₁的面积为$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁为锐角．
（I） 求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁的中点D，连结DB、DC₁，推导出AA₁⊥BD，AA₁⊥C₁D，由此能证明AA₁⊥BC₁．
（Ⅱ）三棱锥A₁-ABC₁的体积：${V}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}={V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是菱形，A₁B=AB=AA₁=2，
∴A₁A=A₁C₁=CC₁=CA=2，△AA₁B是等边三角形，
取AA₁的中点D，连结DB、DC₁，则AA₁⊥BD，
由${S}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×{A}_{1}A×{A}_{1}{C}_{1}×sin∠A{A}_{1}{C}_{1}$=2sin∠AA₁C₁=$\sqrt{3}$，
得sin∠AA₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∠AA₁C₁为锐角，∴∠AA₁C₁=60°，
∴△AA₁C₁是等边三角形，且AA₁⊥C₁D，
又∵BD?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，BD∩C₁D=D，
∴AA₁⊥平面BC₁D，
∵BC₁?平面BC₁D，∴AA₁⊥BC₁．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥AA₁，又侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
侧面ABB₁A₁∩侧面AA₁C₁C=AA₁，
BD?平面ABB₁A₁，∴BD⊥平面ABB₁A₁，
在△AA₁B中，A₁B=AB=AA₁=2，∴BD=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥A₁-ABC₁的体积：
${V}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}={V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．