Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{5}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．圆E的圆心在椭圆C上，半径为2．直线y=k₁x与直线y=k₂x为圆E的两条切线．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问：k₁•k₂是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，b=$\sqrt{5}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=20，b²=5，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设E（x₀，y₀），圆E的方程为：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4，由直线y=k₁x与圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2，（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-4=0，同理可得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-4=0，因此k₁，k₂为方程（x₀²-4）x²-2x₀y₀x+y₀²-4=0的两个根，由韦达定理可知：k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，由E在椭圆上，则y₀²=5（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$），代入即可求得k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，短轴长为2$\sqrt{5}$，则2b=2$\sqrt{5}$，即b=$\sqrt{5}$，
∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得：a²=20，b²=5，…（2分）
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；…（4分）
（2）
设E（x₀，y₀），圆E的方程为：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4，
由直线y=k₁x与圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，
∴$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2，…（6分）
整理得：（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-4=0，
同理可得：直线y=k₂x与圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，
∴（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-4=0，
∴k₁，k₂为方程（x₀²-4）x²-2x₀y₀x+y₀²-4=0的两个根…（8分）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，
又∵E（x₀，y₀），在椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$上，
∴y₀²=5（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$）…（10分）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{5（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{20}）-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
故k₁•k₂是定值，为-$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．