Question

19．设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4．求：
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：函数f（x）=-x³+3x+2，求导f'（x）=-3x²+3，f'（x）=0，解得：x=1或x=-1，当f'（x）＜0，解得：x＜-1或x＞1，当f'（x）＞0，解得：-1＜x＜1，因此函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，代入即可求得点A、B的坐标；
（2）$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-1-x，-y}）•（{1-x，4-y}）={x^2}-1+{y^2}-4y=4$，整理即可求得动点P的轨迹方程．

解答 解：（1）函数f（x）=-x³+3x+2，求导f'（x）=-3x²+3，
令f'（x）=0，
解得：x=1或x=-1，
当x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，
当x＞1时，f'（x）＜0，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4，
所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．
（2）设P（x，y），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-1-x，-y}）•（{1-x，4-y}）={x^2}-1+{y^2}-4y=4$，
整理得：x²+（y-2）²=9，
∴动点P的轨迹方程：x²+（y-2）²=9．

点评 本题考查利用导数求函数函数的单调性及极值，考查函数的最值问题，考查导数的综合应用，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．